Visualisatie van krommen en oppervlakken

Stefan Haesen, Ignace Van de Woestyne

Inleiding

In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt de wiskunde een aantal hulpmiddelen. Namelijk, met behulp van verschillende beschikbare coördinaatsystemen kunnen deze functies efficiënt beschreven worden. Om ook te zien welke objecten door deze functies beschreven worden, werd het softwareprogramma VisuMath ontwikkeld dat in deze module zal gebruikt worden. Het spreekt voor zich dat de te visualiseren objecten moeten leven in een 2- of 3-dimensionale ruimte. VisuMath beperkt zich dan ook tot het visualiseren van krommen en oppervlakken.

Het programma VisuMath lijkt ons uniek te zijn t.o.v. bestaande grafische software omwille van zijn eenvoud in het gebruik, de zorg die besteed werd aan de grafische output (ondermeer een 'klassiek' orthonormaal assenstelsel dat juist gepositioneerd is m.b.t. oppervlakken, de te gebruiken eenheden op de assen en de print- en kopieermogelijkheden). Het programma is tevens speciaal gericht op het onderwijs (en wordt daarvoor gratis aangeboden) en is volledig in de Nederlandse taal ontworpen.

Dit programma wordt alvast vanaf het academiejaar 2001-2002 intensief gebruikt in de opleidingsonderdelen wiskunde van de economische opleidingen aan de Katholieke Universiteit Brussel (K.U.Brussel).

In deze tekst zullen we een beschrijving geven van de verschillende coördinaatsystemen die courant gebruikt worden voor het beschrijven van krommen en oppervlakken. Aangezien alle beschreven systemen binnen de mogelijkheden van VisuMath liggen, kan dit programma aanvullend werken bij deze tekst. Alle voorbeelden die in deze tekst terug te vinden zijn, werden trouwens ook m.b.v. VisuMath geproduceerd.

Krommen in het vlak

Krommen in een vlak kunnen steeds beschreven worden aan de hand van één parameter. We onderscheiden in de volgende onderdelen de Cartesische vergelijking, de parametervergelijking en de polaire vergelijking van een kromme.

2.1. De Cartesische vergelijking van een kromme

Met de Cartesische vergelijking van een kromme bedoelen we de beschrijving van een kromme m.b.v. een reële functie f van één veranderlijke x . De kromme ontstaat door de graf te tekenen van de functie, d.w.z. de verzameling van de punten (x, f(x)) waarbij x behoort tot het domein van de functie f . Zoals geweten is, is het domein van een reële functie de verzameling van alle reële getallen waarvoor een functiewaarde bestaat. Dit is geïllustreerd in figuur 1.



Figuur 1: De graf van een functie

In figuur 2 vindt men de grafiek van f met .



Figuur 2: De grafiek van f met

De Taylor-veelterm van graad n rond een reëel getal a behorend tot het domein van een functie f , waarvan verondersteld wordt dat deze voldoende maal afleidbaar en continu is rond a , wordt gegeven door



Toegepast voor vinden we als Taylor-veelterm van graad 3 rond 0:

In figuur 3 zien we het voorgaande geïllustreerd.



Figuur 3: De grafiek van de sinusfunctie en de Taylor-veelterm van graad 3 rond 0

In het bijzonder levert de Taylor-veelterm van graad 1 rond a niets anders op dan de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in a . Dit illustreert duidelijk dat de raaklijn aan een kromme in a een eerste (lineaire) benadering geeft van de kromme. Naarmate de graad in de Taylor-veelterm verhoogd wordt, zal ook de grafiek van de veelterm beter aansluiten bij de grafiek van f rond a . In figuur 4 zien we de raaklijn aan de grafiek van de sinusfunctie in deoorsprong, gevonden via de Taylor-veelterm van graad 1 rond 0.



Figuur 4: De grafiek van de sinusfunctie en de raaklijn eraan in de oorsprong

Het teken van de eerste afgeleide van een functie f laat zien waar de graf van f stijgt en waar ze daalt. Immers, op plaatsen waar de graf van f stijgt zal de eerste afgeleide van f positief zijn, terwijl de graf van f daalt daar waar de eerste afgeleide negatief is. De tweede afgeleide van f bepaalt de vorm van de graf. Een positieve tweede afgeleide wijst op een holle of concave vorm, terwijl een negatieve afgeleide overeenstemt met een bolle of convexe vorm. Dit is geïllustreerd in figuur 5, waarin zowel de graf van f met , f' als f'' te zien zijn. In diezelfde figuur zien we tevens een illustratie van het feit dat de extrema (dit zijn de minima en de maxima) terug te vinden zijn op de plaats waar de eerste afgeleide 0 is. De buigpunten daarentegen zijn te vinden op de plaatsen waar de tweede afgeleide 0 wordt. In een buigpunt gaat de kromme immers over van een convexe naar een concave vorm of vice versa.



Figuur 5: De grafiek van f , f' en f'' met

2.2. De parametervergelijking van een kromme

Wanneer een vlakke kromme gegeven wordt m.b.v. een parametervergelijking wil dit zeggen dat zowel de x -coördinaten als de y -coördinaten van de punten van de kromme kunnen uitgedrukt worden t.o.v. een reële parameter u , zoals geïllustreerd in figuur 6.



Figuur 6: Een kromme via zijn parametervergelijking

Voor de parameter u dient steeds een bereik opgegeven te worden. In figuur 7 vindt men bijvoorbeeld de grafiek van de kromme met parametervergelijking en . Als bereik voor de parameter u werd het interval opgegeven. De kromme die ontstaat staat bekend als een Lissajous-figuur. Lissajous-figuren komen ondermeer voor in de natuurkunde als de baan die ontstaat door samenstelling van twee harmonische bewegingen die onderling loodrecht staan op elkaar.



Figuur 7: De kromme met parametervergelijking en

2.3. De polaire vergelijking van een kromme

De polaire vergelijking van een kromme is een vergelijking waarin de modulus (dit is de afstand van een punt van de kromme tot de oorsprong) uitgedrukt wordt t.o.v. het argument (dit is de hoek die de rechte door het punt en de oorsprong maakt met de x-as). De modulus noteren we met r en het argument met u . Zoals bij een parametervergelijking moet eveneens een bereik voor de parameter u opgegeven worden. In figuur 8 volgt de visualisatie.



Figuur 8: De polaire vergelijking van een kromme

De kromme met polaire vergelijking waarbij u gelegen is in het interval wordt gegeven in figuur 9.



Figuur 9: De kromme met polaire vergelijking

Oppervlakken in de 3-dimensionale ruimte

Oppervlakken in de 3-dimensionale ruimte kunnen beschreven worden aan de hand van een functie van twee veranderlijken, met een parametervergelijking of met cilinder- of bolcoördinaten. In dit deel zullen we zien hoe dit in zijn werk gaat.

3.1. De graf van een functie

Met de graf van een reële functie f van twee veranderlijken x en y bedoelen we de verzameling van de punten (x, y, f(x,y)) waarbij (x, y) behoort tot het domein van de functie f . Dit is geïllustreerd in figuur 10.



Figuur 10: De graf van een functie

In figuur 11 vindt men bijvoorbeeld de graf van f met , getekend op het domein .



Figuur 11: De graf van f met

Deze wijze om een oppervlak te beschrijven is eenvoudig en kan lokaal steeds (zoals kan aangetoond worden) toegepast worden. Het is echter niet mogelijk om bijvoorbeeld gesloten oppervlakken met één dergelijke functie te beschrijven. Neem als voorbeeld een bol met middelpunt de oorsprong en straal 1. We weten dat de vergelijking van deze bol gegeven wordt door . Deze vergelijking is te herschrijven als . Door het nemen van de vierkantswortel zien we dat er twee functies van 2 veranderlijken ontstaan. De ene beschrijft de bovenste helft van de bol, de andere de onderste helft. De beide functies zijn



die beiden gedefinieerd zijn op het domein . Met behulp van VisuMath kunnen we dit illustreren in figuur 12.



Figuur 12: De graf van en met en

De bol is aan de rand niet volledig omdat het domein waarop de twee functies gedefinieerd zijn niet rechthoekig van vorm is. We kunnen het resultaat verbeteren door de nauwkeurigheid te verhogen, maar het rekenwerk voor de PC verhoogt dan eveneens.

3.2. De parametervergelijking van een oppervlak

Wanneer een oppervlak gegeven wordt m.b.v. een parametervergelijking wil dit zeggen dat zowel de x -, y - als z -coördinaten van de punten van het oppervlak kunnen uitgedrukt worden t.o.v. twee reële parameters u en v , zoals geïllustreerd in figuur 13.



Figuur 13: De parametervergelijking van een oppervlak

In figuur 14 vindt men bijvoorbeeld de grafiek van het oppervlak met parametervergelijking



waarbij de parameters u en v waarden kunnen aannemen gelegen tussen 0 en .



Figuur 14: Voorbeeld van een oppervlak gegeven met parametervergelijking

3.3. Cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten zijn ontwikkeld om 'cilindervormige' oppervlakken met korte vergelijkingen te kunnen weergeven. Ze kunnen gezien worden als een uitbreiding van de poolcoördinaten die ook gebruikt worden bij de polaire vergelijking van een kromme. De cilindercoördinaten van een punt in de ruimte worden bepaald door de modulus r , hetargument u en de hoogte z , als volgt gedefinieerd.
• De modulus r is de afstand van het punt tot de z -as;
• Het argument u is de hoek gemeten vanaf de x -as tot aan het verticale vlak door het punten de z -as;
• De hoogte z is de hoogte van het punt tot het xy -vlak.
Met een vergelijking van een oppervlak in cilindercoördinaten bedoelen we een vergelijking waarbij de modulus uitgedrukt wordt t.o.v. het argument en de hoogte. Een cilinder rond de z -as met straal 2 bijvoorbeeld krijgt dan de eenvoudige vergelijking r = 2 , waarbij u en z willekeurig kunnen gekozen worden. Figuren 15 en 16 vormen een illustratie van cilindercoördinaten, waarbij zowel een zijaanzicht als een bovenaanzicht wordt gegeven. Het getoonde oppervlak heeft als vergelijking r = u waarbij u gelegen is tussen 0 en en z gelegen is tussen 0 en 5. Een vertikaal vlak werd erbij getekend om de cilindercoördinaten meer duidelijk te maken.



Figuur 15: Een illustratie van cilindercoördinaten (zijaanzicht)



Figuur 16: Een illustratie van cilindercoördinaten (bovenaanzicht)

3.4. Bolcoördinaten

Bolcoördinaten zijn ontwikkeld om 'bolvormige' oppervlakken met korte vergelijkingen te kunnen weergeven. De bolcoördinaten van een punt in de ruimte worden bepaald door de straal r , de rotatiehoek u en de inclinatiehoek v , als volgt gedefinieerd.
• De straal r is de afstand van het punt tot de oorsprong;
• De rotatiehoek u is de hoek gemeten vanaf de x -as tot aan het verticale vlak door het punten de z -as;
• De inclinatiehoek v is de hoek tussen de z -as en de rechte door het punt en de oorsprong.
Met een vergelijking van een oppervlak in bolcoördinaten bedoelen we een vergelijking waarbij de straal uitgedrukt wordt t.o.v. de rotatiehoek en de inclinatiehoek. Een bol rond de oorsprong met straal 2 bijvoorbeeld krijgt dan de eenvoudige vergelijking r = 2 , waarbij u genomen kan worden tussen 0 en en v tussen 0 en . In figuur 17 zien we bolcoördinaten grafisch weergegeven.



Figuur 17: Een illustratie van bolcoördinaten

Als illustratie toont het volgende oppervlak een 'schelpstructuur'. Het heeft als vergelijking waarbij u gelegen is tussen 0 en en v gelegen tussen 0 en . Het is gevisualiseerd in figuur 18.



Figuur 18: Een 'schelp' gemaakt op basis van bolcoördinaten

Indien we v beperken tussen en , dan zien we een 'halve schelp' waardoor de binnenstructuur duidelijk wordt, zoals aangegeven in figuur 19.



Figuur 19: Een 'halve schelp' gemaakt op basis van bolcoördinaten

Oefeningen

1. Gegeven is de functie f met .
   1. Bereken de raaklijn in het snijpunt met de rechte met als vergelijking x=1 .
   2. Bereken de Taylorveeltermen van graad 2, 3 en 5 in x=0 .
2. Teken de oppervlakken gegeven door de volgende vergelijkingen:
   1. 
   2. 
   3. 
   4. .
3. Teken een afgeplatte kegel met grote straal 4, kleine straal 2 en hoogte 3. Vul aan met de bol met straal 2 die raakt aan het bovenvlak van de afgeknotte kegel en die er zich bovenop bevindt (op symmetrische wijze). Zoek dan een vlak dat raakt aan de twee figuren en teken dit eveneens.
4. De functie h met
   bepaalt een 'cowboyhoed'. Construeer hiermee een 'sombrero'.
   Tip: Mexicaanse hoeden zijn cirkel-symmetrisch.
5. Teken een bol met straal 3 en middelpunt (0,0,0) in 3 coördinatensystemen. Welke is het eenvoudigst?