Fractalen

Ignace Van de Woestyne

Inleiding

De verzameling van de complexe getallen kan worden gedefinieerd vertrekkend van voorzien van de volgende bewerkingen:

Deze bewerkingen maken van een getallenveld. We kunnen zien dat een deel is van waarvoor de beperking van de optelling en de vermenigvuldiging van tot A inwendig is. Inderdaad, we hebben dat

Bijgevolg kan A geïdentificeerd worden met ( . Het getal (0,1) echter kan zeker niet gezien worden als een reëel getal aangezien (0,1).(0,1)=(-1,0) . Dit betekent dat (0,1) een getal is waarvan het kwadraat gelijk is aan -1. We noteren (0,1) door i . Bijgevolg is .

kan nu herschreven worden (na identificatie) als



de verzameling van de complexe getallen. Aangezien een getallenveld vormt, kunnen we alle gewone eigenschappen (zoals de commutatieve wetten, associatieve en distributieve wetten) toepassen.

Als gevolg van de identificatie kunnen we complexe getallen x+iy voorstellen als punten in het vlak. Op de horizontale as worden de reële getallen geplaatst, terwijl we de zuiver imaginaire getallen ( = iy met ) op de verticale as terugvinden. Dit vlak staat ook bekend als het Gauss-vlak (figuur 1). De optelling van complexe getallen komt overeen met de vectoroptelling in het vlak.



Figuur 1: Het Gauss-vlak

Om een meetkundige interpretatie te kunnen geven van de vermenigvuldiging van complexe getallen, hebben we nood aan een andere voorstelling van complexe getallen. Een punt in het vlak kan bepaald worden aan de hand van de poolcoördinaten en in plaats van de Cartesische coördinaten x en y . Het argument van een complex getal z is de hoek tussen de reële as en de positievector van z , terwijl de afstand is van z tot de oorsprong. Deze afstand noemt men ook wel de modulus van z en wordt genoteerd door . Het verband tussen de Cartesische coördinaten en de poolcoördinaten is gegeven door

door eenvoudigweg gebruik te maken van goniometrische eigenschappen van rechthoekige driehoeken. Bijgevolg kan een complex getal geschreven worden als

Deze voorstelling noemt men de polaire vorm van een complex getal. De vermenigvuldiging van twee complexe getallen en resulteert in

Meetkundig betekent dit dat het product van twee complexe getallen gevonden wordt door de argumenten op te tellen en de moduli te vermenigvuldigen. In het bijzonder vinden we dat het kwadraat van een complex getal gegeven wordt door . Met behulp van een bewijs door inductie kunnen we dit resultaat veralgemenen tot .

We bestuderen nu de functie . Als we f toepassen op een complex getal met en we stellen , dan is



Passen we vervolgens de functie f toe op en stellen we , dan is

We kunnen dit proces herhalen om aldus een rij van complexe getallen te bekomen met We zien eenvoudig in dat , zodat we uiteindelijk in de oorsprong aanbelanden. Dit wordt geïllustreerd in figuur 2. We zeggen dat het proces convergeert naar een vast punt - in dit geval de oorsprong - indien we vertrekken van een punt z waarbij . De oorsprong noemt men een attractief vast punt aangezien het een deel van "aantrekt".


Figuur 2

Anderzijds kunnen we eenvoudig inzien dat indien , , zodat we op oneindig terechtkomen (figuur 3). Ook in dit geval is een attractief vast punt aangezien het eveneens een deel van "aantrekt". Om exact te zijn moeten we de functie f als een functie van beschouwen. kan gezien worden als de stereografische projectie van de Riemann-sfeer .


Figuur 3

Er is een derde mogelijkheid. Als , dan is In dit geval blijven we bijgevolg gebonden aan de eenheidscirkel in het Gauss-vlak. De eenheidscirkel is de rand van het gebied waarvan de punten aangetrokken worden naar 0 en is eveneens de rand van het gebied waarvan de punten aangetrokken worden naar .

We zullen deze situatie verder nog bespreken.

Het Verhulst-proces

Beschouw een populatie. De groei van deze populatie wordt meestal beschreven in functie van het groeitempo. Dit is de verhouding van de toename na een bepaalde periode van de populatie ten opzichte van de grootte bij het begin van de periode. Of wiskundig, als we de grootte van de populatie op een gegeven ogenblik n noteren door K(n) , dan wordt het groeitempo R(n) op het ogenblik n gegeven door

We kunnen eenvoudig zien dat K(n+1)=(1+R(n))K(n) en dat indien R(n) constant is, zeg R . De populatie groeit exponentieel.

Alhoewel deze wetmatigheid goed werkt binnen een beperkte tijdspanne, stellen we vast dat voor lange periodes de wetmatigheid niet klopt aangezien de groei steeds begrensd is. Omwille hiervan formuleerde Pierre François Verhulst in 1845 een andere wetmatigheid waarbij rekening gehouden werd met een beperking van de groei. Concreet veronderstelde hij dat het groeitempo R(n) afhangt van de grootte van de populatie, meerbepaald dat het groeitempo proportioneel is met X-K(n) , waarbij X de maximale populatiegrootte is. Dus, R(n)=r(X-K(n)) met r een constante en



Als we veronderstellen dat X=1 , wat altijd kan gebeuren via een herschaling, bekomen we het Verhulst-proces:

De bedoeling is deze functie voortdurend te herhalen, vertrekkend van een initiële waarde . We bekomen de rij en willen weten waar deze rij toe leidt afhankelijk van de waarde van r .

Vooreerst merken we op dat indien of , het Verhulst-proces volledig bepaald is. In de beide gevallen gebeurt er niets wat logisch is gezien er in het eerste geval niets aanwezig is om van te groeien en we in het tweede geval reeds de maximale populatiegrootte bereikt hebben.

Anderzijds, indien er een kleine initiële waarde aanwezig is, zal er meer zijn de volgende maal aangezien . Dit betekent dat de evenwichtstoestand die we vaststellen in niet stabiel is.

Op deze plaats is het goed enkele definities te vermelden:

is een vast punt (of fixpunt) van (of ) indien .

Een vast punt is stabiel indien .

Het is duidelijk dat een onstabiel vast punt is. Voor het Verhulst-proces is f'(x)=1+r-2rx . Het vast punt is enkel stabiel indien . Dus, als we nemen, dan wordt onstabiel. In figuur 4 zien we voor r=2.2 . Blijkbaar oscilleert het proces periodisch tussen twee niveau's. Om de twee stabiele niveau's te vinden onderzoeken we de vaste punten van . Na berekening vinden we 4 vaste punten van , namelijk



Onderzoek van de stabiliteit leert ons dat 0 en 1 onstabiel zijn en dat de overige vaste punten stabiel zijn indien . Dit betekent dat zij stabiel zijn als en slechts als We bekomen in dit geval uiteindelijk een stabiele oscillatie met periodiciteit 2.


Figuur 4:

Indien we nemen hebben we niet langer twee stabiele vaste punten. Neem bijvoorbeeld r=2.5 , dan bekomen we figuur 5. We zien 4 stabiele niveau's. Opnieuw kunnen ze berekend worden en kan de stabiliteit onderzocht worden. We bekomen een stabiele oscillatie met periodiciteit 4.



Figuur 5:

Het hierboven beschreven proces kan nu worden uitgebreid. We stellen achtereenvolgens stabiele oscillaties vast met periodiciteit 8, 16, 32, ..., ,... De waarde van r waarvoor de periodiciteit onstabiel wordt en de periodiciteit stabiel wordt noemt men het n -de bifurcatiepunt en wordt genoteerd door .



Figuur 6: Het bifurcatiepatroon

Een overzicht van de mogelijke waarden van r en de overeenkomstige resultaten in het Verhulst-proces is weergegeven in figuur 6. De figuur noemt men het bifurcatiepatroon en de bifurcatiepunten kan men duidelijk zien. We zien ook in figuur 7 dat voor r=3 bijvoorbeeld het Verhulst-proces chaotisch wordt. Dit betekent dat niet meer kan voorspeld worden over een lange tijdspanne wat het resultaat zal zijn, alhoewel het proces volledig bepaald blijft.



Figuur 7:

De volgende eigenschap werd ontdekt door Großmann, Thomae en Feigenbaum (1977):



Dit betekent dat in de limiet, voor , de verhouding van de lengte van opeenvolgende intervallen van bifurcatiepunten gelijk is aan . De constante blijkt zo universeel te zijn als welbekende getallen zoals , e , ... en noemt men het Feigenbaum-getal.

Een ander opmerkelijk resultaat met betrekking tot het bifurcatiepatroon is dat we rond r=2.83 zien dat het Verhulst-proces plots opnieuw stabiel wordt met 3 stabiele niveau's. Daarna start het verdubbelen opnieuw met 6, 12, 24, ... tot in de chaos.

Julia-verzamelingen

De studie van de zogenaamde Julia-verzamelingen in gaat terug tot het einde van de 19de eeuw. Gaston Julia (1893-1978) en Pierre Fatou (1878-1929) bestudeerden iteraties van rationale functies in het complexe vlak. [J] is bijvoorbeeld een basiswerk in dit gebied.

Beschouw meerbepaald een rationale functie , met en P en Q polynomen zonder gemeenschappelijke delers. We definiëren de graad van R als



De graad van R is in het algemeen het aantal elementen in het inverse beeld van een punt .

Om de Julia-verzamelingen bepaald door R te kunnen definiëren hebben we een aantal voorbereidende definities nodig.

Vooreerst, indien , dan creëren we door het achtereenvolgens toepassen van R een rij in . Deze rij noemt men de voorwaartse orbiet van en wordt genoteerd door .

Met de achterwaartse orbiet van , genoteerd door , bedoelen we



De achterwaartse orbiet is de verzameling van alle punten die bereiken na een aantal iteraties met R . We merken op dat ( k maal).

Een punt is een periodisch punt met periodiciteit n indien n het kleinste geheel getal is waarvoor . In dit geval is de voorwaartse orbiet gegeven door . We zien duidelijk dat elk punt van de voorwaartse orbiet periodisch is met dezelfde periodiciteit. Deze orbieten noemt men periodische orbieten of cycli en zullen we hierna noteren met .

Een periodisch punt met periodiciteit 1 is een vast punt want .

Met het oog op een karakterisatie van de periodische punten met periodiciteit n , introduceren we de eigenwaarde van zulke punten. Voor een eindig punt wordt de eigenwaarde gedefinieerd door .

We kunnen eenvoudig aantonen dat de eigenwaarde dezelfde is voor alle punten van dezelfde cyclus. Het is hiertoe voldoende aan te tonen dat .

Vooreerst is



door te steunen op de kettingregel voor differentiatie. Verder is

waaruit het gevraagde resultaat volgt.

We beschouwen nu 4 soorten periodische punten met periodiciteit n :



De Julia-verzameling van R wordt nu gedefinieerd als de adherentie van de verzameling P van alle afstotende periodische punten van R . Equivalent kunnen we zeggen dat P dicht is in of dat elk punt van de limiet is van een rij van punten uit P .

Als een attractief periodisch punt is met periodiciteit n , dan wordt het attractiegebied van gedefinieerd als



Dit betekent dat de verzameling is van alle punten x met een voorwaartse orbiet naderend naar .

Als een attractieve cyclus is, dan is het attractiegebied van de unie van de attractiegebieden van alle , i=0,1, ... , n-1 , in de cyclus.

Met deze definities bewezen Julia en Fatou de volgende fundamentele resultaten met betrekking tot Julia-verzamelingen:

Stelling 3.1.

en bevat een overaftelbaar aantal punten.

Stelling 3.2.

, k=1,2,...

Stelling 3.3.

.

Stelling 3.4.

is dicht in .

Stelling 3.5.

Als een attractieve cyclus is van R , dan is en , waarbij de rand is van .

Stelling 3.6.

Als inwendige punten heeft, dan is .

Stelling 3.7.

Als en voor een , dan bestaat er een getal waarvoor .

Hier volgen enkele opmerkingen met betrekking tot de bovenstaande stellingen:

• Stelling 3.1, in combinatie met de definitie van een Julia-verzameling, suggereert dat elke rationale functie een aanzienlijk aantal afstotende periodische punten heeft.
• Stelling 3.3 toont dat invariant is onder R .
• Stelling 3.4 geeft een numerieke methode om Julia-verzamelingen te construeren. De achterwaartse orbiet is echter niet uniform verdeeld over de Julia-verzameling. Supplementaire algoritmes zijn dus noodzakelijk om de effectieve figuur te construeren.
• Stelling 3.7 toont dat een Julia verzameling kan geconstrueerd worden in een eindig aantal stappen startend vanaf een zeer klein stukje ervan. Deze eigenschap maakt dat een Julia-verzameling zelf-gelijkend is.

We passen nu een aantal van de hiervoor vermelde begrippen en eigenschappen toe op het eenvoudige geval waarbij . We zien onmiddellijk dat 0, 1 en vaste punten (= periodische punten met periodiciteit 1) zijn. Verder zijn , en , zodat 0 en superattractief zijn en 1 afstotend is.

Wat betreft is het goed om expliciet te berekenen. Hiervoor passen we eerst een coördinatentransformatie toe die afbeeldt op een eindig punt, 0 bijvoorbeeld. Dit wordt gerealiseerd door de coördinatentransformatie . Bijgevolg transformeert R(x) tot



Zie ook naar figuur 8. We zien dat 0 inderdaad een vast punt is van en

waaruit volgt dat superattractief is.


Figuur 8

Verder zien we dat een attractieve cyclus is waarvoor het attractiegebied is, steunend op de inleiding. Op analoge wijze vinden we dat een attractieve cyclus is met als attractiegebied . Volgens stelling 3.5 is , wat de eenheidscirkel rond de oorsprong in oplevert.

Om de periodische punten met periodiciteit n te vinden moet men de vergelijking oplossen. Bijvoorbeeld zijn en twee periodische punten met periodiciteit 2.

Andere voorbeelden van Julia-verzamelingen vinden we in figuren 9, 10 en 11. De afbeeldingen die hier weergegeven worden zijn niet gecreëerd met behulp van stelling 3.4 die, zoals eerder reeds aangegeven werd, een methode geeft om Julia-verzamelingen te construeren. Daarentegen is gebruik gemaakt van een methode die gebaseerd is op stelling 3.5.

Veronderstel dat R minstens twee verschillende vaste punten heeft, zeg a en b . Dan is volgens stelling 3.5 . Neem een rechthoek B in die een deel van bevat. Dan moeten er punten zijn in B die behoren tot A(a) en ook punten die behoren tot A(b) . Indien zij behoren tot A(a) geven we ze de kleur zwart bijvoorbeeld, terwijl we de punten die behoren tot A(b) bijvoorbeeld wit kleuren. De resulterende Julia-verzameling wordt dan gevonden als rand van de beide gekleurde gebieden.

In de plaats van enkel de kleuren zwart en wit te gebruiken kunnen we een volledig kleurenpalet gebruiken en elk punt inkleuren volgens de "snelheid van naderen" tot de vaste punten. Deze snelheid wordt in het computerprogramma bepaald door het aantal iteraties dat nodig is om een voorgedefinieerd gebied dicht bij het vast punt te bereiken.



Figuur 9: Julia-verzameling voor met c=-0.39054-0.58679i



Figuur 10: Julia-verzameling voor met c=0.11031-0.67037i



Figuur 11: Julia-verzameling voor met c=-0.74543+0.11301i

De Mandelbrot-verzameling

We keren even terug naar het Verhulst-proces . In de plaats van het proces toe te passen op reële getallen zoals we deden in sectie 2, passen we het nu toe op complexe getallen. We kunnen het Verhulst-proces vereenvoudigen tot , met c constant, omwille van de volgende eigenschap:

Elke polynoom van orde twee is geconjugeerd aan de polynoom , met door middel van de coördinatentransformatie .

Men kan inderdaad eenvoudig nagaan dat (zie figuur 12). Bijgevolg is het voldoende om het vereenvoudigde proces te bestuderen in de plaats van het oorspronkelijke Verhulst-proces. Steunend op de theorie uit sectie 3 kunnen we de Julia-verzameling construeren die hoort bij dit proces die we zullen noteren door . We kunnen bijvoorbeeld zien dat , aangezien een superattractief vast punt is van het proces.



Figuur 12

Het was Benoit Mandelbrot (1924 - ) die geïnteresseerd was te weten hoe de verzameling van alle waarden c waarvoor samenhangend is eruit ziet. Het was namelijk bekend bij Julia en Fatou dat ofwel samenhangend is of de structuur heeft van een Cantor-verzameling.

We vermelden eerst een ander resultaat van Julia en Fatou:

Stelling 4.1.

Elke attractieve cyclus heeft in zijn attractiegebied minstens één kritiek punt.

We herinneren eraan dat een eindig kritiek punt is voor indien . Voor moeten we eerst een coördinatentransformatie toepassen die afbeeldt op een eindig punt, 0 bijvoorbeeld. Dit kan bijvoorbeeld worden gerealiseerd met de coördinatentransformatie .

De polynoom heeft twee kritieke punten, namelijk 0 en . Aangezien reeds een superattractief vast punt is, is 0 het enige interessante kritieke punt dat overblijft om te onderzoeken.

Eveneens volgens Julia en Fatou is samenhangend als en slechts als . Op deze wijze was Mandelbrot in staat om de verzameling die naar hem genoemd werd, namelijk de Mandelbrot-verzameling



te visualiseren.

Gebruik makend van computers is het mogelijk om voor een gegeven c na te gaan of 0 aangetrokken wordt door oneindig. Indien dit het geval is behoort c niet tot M . We kunnen opnieuw het punt c inkleuren volgens de "snelheid van attractie" tot . Dit is gebeurd in figuur 13.



Figuur 13: De Mandelbrot-verzameling

We vermelden twee belangrijke resultaten in verband met M :

Stelling 4.2.

M is samenhangend.

Stelling 4.3.

.

De afschatting in stelling 4.2 kan niet verbeterd worden aangezien c=-2 behoort tot M .

De Mandelbrot-verzameling blijkt een fractale structuur te bezitten, net zoals dat het geval is voor de Julia-verzamelingen. De zelf-gelijkenis van Julia-verzamelingen, gegarandeerd door stelling 3.7 geldt echter niet voor de Mandelbrot-verzameling. Dit maakt dat M veel gecompliceerder is dan Julia-verzamelingen. In feite is ze zo gecompliceerd dat zeer mooie afbeeldingen kunnen bekomen worden door in te zoomen op de rand. Figuren 14, 15 en 16 zijn voorbeelden die de complexiteit demonstreren.

Meer eigenschappen van de Mandelbrot-verzameling zijn te vinden in [M], [P1] en [P2].



Figuur 14



Figuur 15



Figuur 16

Iteratieve functiesystemen

Tot hiertoe hebben we verzamelingen bestudeerd die gerelateerd zijn aan een afbeelding in . De beelden (Julia-verzamelingen en de Mandelbrot-verzameling) maken deel uit van de verzameling van alle "fractalen". Het woord fractaal is uitgevonden door Mandelbrot en is afgeleid van "fractionale dimensie". Mandelbrot definieert een fractale verzameling als een verzameling waarvoor de Hausdorff-dimensie niet geheel is. We gaan hier verder niet op in.

Een mooie klasse van fractalen kan geconstrueerd worden gebruik makend van een iteratief functiesysteem, in wat volgt afgekort door IFS. De idee is het volgende.

Stel dat we een eindig aantal affiene transformaties van het vlak hebben. Een affiene transformatie kan beschreven worden door



met a , b , c , d , e en f in .

Als we één punt nemen in kunnen we alle affiene transformaties erop toepassen. Dit resulteert in r nieuwe punten in het vlak waarop we opnieuw alle transformaties kunnen toepassen. Op deze wijze bekomen we punten. We herhalen dit proces. Na n keer bekomen we punten in het vlak. Als de affiene transformaties goed gekozen zijn heeft de resulterende figuur fractale eigenschappen. Het "varenblad" dat te zien is in figuur 17 is een voorbeeld van een fractaal bekomen via deze techniek op basis van 4 affiene transformaties. Aangezien de techniek van IFS recursief geformuleerd is, kan hij eenvoudig worden toegepast in computerprogramma's door gebruik te maken van recursie.



Figuur 17

De moeilijkheid met deze methode om fractalen te genereren is de keuze van die affiene transformaties die leiden tot mooie afbeeldingen. Als ze niet juist gekozen zijn bekomt men alles behalve een mooie fractaal.

De IFS-techniek wordt ook toegepast (men doet hier pogingen toe) in fractale beeldcompressie. In theorie moet het mogelijk zijn om vrij nauwkeurig elke afbeelding te bekomen door gebruik te maken van een IFS. Indien men in staat is het IFS te bepalen, vertrekkend van een afbeelding, dan kan het IFS gezien worden als de compressie van het oorspronkelijke beeld. Deze compressietechniek wordt momenteel nog niet op ruime schaal toegepast. Meer informatie is te vinden in [B].

Toepassingen van fractalen

In de voorgaande sectie vermeldden we reeds een toepassing van fractale technieken, namelijk de fractale beeldcompressie. Maar fractalen verschijnen ook in andere domeinen. Zij duiken bijvoorbeeld op in de fysica. Eén van de intensief bestudeerde fase-overgangen in de fysica is de overgang tussen de magnetische en de niet-magnetische toestand van een materiaal. Zolang de thermische schommelingen niet te groot zijn hebben de elementaire magneten in het materiaal de neiging zich parallel te aligneren. Dit resulteert in een observeerbaar magnetisme. Indien de temperatuur echter verhoogd wordt, zal op een gegeven ogenblik deze orde omslaan in een wanorde en wordt het magnetisme chaotisch. Eén van de afbeeldigen die een belangrijke rol speelt in dit soort situaties, is de afbeelding

In deze vergelijking staat z voor de "temperatuur" en q voor het aantal Potts-toestanden in het originele model (beiden uitgebreid tot het complexe vlak). Meer details vindt men terug in [P1] bijvoorbeeld.

Het beeld dat men ziet in figuur 18 is het analoge van de Mandelbrot-verzameling maar dan voor de hiervoor vermelde functie. Het is de verzameling van alle punten q die niet naderen tot 1 noch tot .



Figuur 18

Buiten wetenschappelijke toepassingen zijn er ook toepassingen in niet- of minder wetenschappelijke gebieden. De IFS-techniek kan gebruikt worden om fractale bomen, fractale bergen, fractale landschappen, ... te genereren. Deze kunnen bijvoorbeeld gebruikt worden in vluchtsimulatoren of in virtuele werelden. In deze gevallen heeft men nood aan fractalen in een 3-dimensionale ruimte. Deze kunnen worden bekomen door gebruik te maken van een IFS dat bestaat uit een aantal affiene transformaties van .

Een andere manier om een fractaal te construeren in een 3-dimensionale ruimte is door te vertrekken van een functie maar dan gezien als een transformatie in de verzameling van de quaternionen. We gaan hier niet in detail op in. Het resultaat echter kan gezien worden als behorend tot maar kan geprojecteerd worden in .

Een derde manier om een soort fractaal te construeren in een 3-dimensionale ruimte, is door te vertrekken van een fractaal in en de kleur (= de snelheid van benaderen van het vast punt, zoals we eerder zagen) als hoogte in het corresponderend punt te nemen.

Tot slot vermelden we dat fractalen niet alleen mooie objecten zijn om te bekijken. Ze kunnen ook hoorbaar gemaakt worden en produceren in zekere zin "fractale muziek". Fractale muziek kan verkregen worden door het "scannen" van een fractaal beeld en de gedetecteerde kleur af te beelden op een toon met een bepaalde frequentie.

Een tweede manier is door een Julia-verzameling te genereren steunend op stelling 3.4. De afstand tot de oorsprong bijvoorbeeld kan afgebeeld worden op een toon met een bepaalde frequentie.

Uiteraard moet in de beide gevallen heel wat informatie geëlimineerd worden aangezien niemand zal luisteren naar een muziekstuk dat vele verschillende tonen bevat. Maar zelfs na eliminatie hoort men in sommige fractale muziekstukken de zelf-gelijkenis van de fractaal als een repeterend deel van de muziek.

Hier zijn enkele voorbeelden waarbij gebruikt gemaakt is van de tweede methode:

Referenties

[B]	M. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press Inc., 1988
[J]	G. Julia, Sur l'iteration des fonctions rationelles, Journal de Math. Pure et Appl., 1918, Vol. 8,47--245
[M]	B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, 1982
[P1]	H.O. Peitgen and P.H. Richter, The Beauty of Fractals, Springer-Verlag Inc., 1986
[P2]	H.O. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, Fractals for the Classroom, Springer-Verlag Inc., 1992