Het bifurcatiepatroon
Jouw boeiende ontdekkingsreis doorheen de wereld van de fractalen begint bij een eenvoudig model. Veronderstel dat we een bevolkingsaantal van 1000 eenheden hebben op een bepaald tijdstip. Op een volgend tijdstip bedraagt het aantal 1250. We zien dat de bevolking aangegroeid is met een aangroei van 25%. Indien deze aangroei constant blijft gedurende de opeenvolgende periodes, dan zal het bevolkingsaantal exponentieel stijgen. Dit eenvoudig model blijkt voor korte termijn situaties goed toepasbaar in heel wat gevallen. Voor lange termijn echter is het utopisch te veronderstellen dat een populatie kan blijven aangroeien aan eenzelfde tempo. Dit zag de Belgische wiskundige Pierre François Verhulst in 1845 reeds in en formuleerde daarom een nieuw, meer realistisch model. Hij veronderstelde dat de aangroei constant evenredig is met het verschil van het maximale en het werkelijke bevolkingsaantal op gelijk welk moment. Dit model staat in de literatuur bekend als het Verhulstmodel.
De constante evenredigheidsfactor vinden we in de figuur die we hier zien op de x-as. Op de y-as vinden we het uiteindelijke bevolkingsaantal horende bij de overeenkomstige evenredigheids-factor. De figuur zelf wordt ook wel het bifurcatiepatroon of verdubbelingspatroon genoemd. Hierbij valt op dat, voor kleine waarden van de evenredigheidsfactor, het bevolkingsaantal zich stabiliseert tot een vaste waarde. Eens een cruciale grens overschreden, oscilleert het aantal tussen twee mogelijke waarden. Drijven we de evenredigheidsfactor verder op, dan zien we achtereenvolgens 4, 8, 16, 32, … mogelijke waarden voor het bevolkingsaantal. Uiteindelijk bevinden we ons in de chaos. Merkwaardig is wel dat deze chaos weer overgaat in orde, voor bepaalde waarden van de evenredigheidsfactor. Een fractaal is geboren.
Gaston Maurice Julia
Geboren op 3 februari 1893 in Sidi Bel Abbès, Algerije.Gestorven op 19 maart 1978 in Parijs, Frankrijk.
Gaston Julia, de grondlegger van de theorie van de complexe dynamische systemen is vooral gekend voor de naar hem genoemde Juliaverzameling. Waarschijnlijk was hij zo bekend niet geworden indien Benoit Mandelbrot in de jaren 70 niet was komen opdagen met computervoorstellingen van Juliaverzamelingen.
Pierre Joseph Louis Fatou
Geboren op 28 februari 1878 in Lorient, Frankrijk.Gestorven op 10 augustus 1929 in Pornichet, Frankrijk.
Hij bestudeerde Taylorreeksen en de Lebesgue integraal, maar vooral rationale functies met complexe variabelen droegen zijn interesse weg. Zodoende stond hij ook aan de wieg van de Juliaverzamelingen en de fractalen.
Juliaverzamelingen hebben de merkwaardige eigenschap dat ze kunnen gemaakt worden in een eindig aantal stappen vertrekkende van een willekeurig klein stukje. Deze eigenschap noemt men ook wel de zelfgelijkenis. Ze manifesteert zich zeer duidelijk wanneer we inzoomen op een deel van de figuur. We herkennen dan steeds weer de oorspronkelijke figuur. Alle afbeeldingen die deze eigenschap hebben noemt men fractalen.
