De afdeling krommen

De figuren die hier te bezichtigen zijn kan je in groot formaat bekijken door erop te klikken.

Een vlakke kromme kan gezien worden als het beeld van een functie van één reële veranderlijke t naar het vlak. In elk punt van de kromme kunnen we de raakvector definiëren, ook wel de snelheids-vector genoemd. De veranderlijke t wordt meestal zodanig gekozen dat de lengte van deze snelheidsvector - de snelheid - gelijk is aan één

René Descartes
Geboren op 31 maart 1596 in La Haye, Frankrijk.
Gestorven op 11 februari 1650 in Stockholm, Zweden.
De filosoof en wiskundige René Descartes gebruikte de algebra om de meetkunde verder uit te werken. Aan hem hebben we bijvoorbeeld de Cartesische assenstelsels te danken. Daarmee bestudeerde hij heel wat krommen in het vlak, waaronder de Cartesiaanse ovalen, de cycloïde, het folium van Descartes, ... .

Johannes Kepler
Geboren op 27 december 1571 in Leonberg, Duitsland.
Gestorven op 15 november 1630 in Regensburg, Duitsland.
Johannes Kepler ontdekte onder andere dat de planeten in elliptische banen rond de zon draaien waarbij de zon in één van de twee brandpunten staat. Kegelsneden zijn dus voorbeelden van krommen die een belangrijke rol spelen in ons dagelijks leven.

Christiaan Huygens
Geboren op 14 april 1629 in Den Haag, Nederland.
Gestorven op 8 juli 1695 in Den Haag, Nederland.
Christiaan Huygens maakte en bestudeerde slingerklokken (pendules) en beschreef de baan van de slinger in functie van de tijd. Zo kwam hij bij de studie van de volgende belangrijke vlakke krommen: de kettinglijn, de cissoïde van Diocles, de cycloïde, de epicycloïde, de hypocycloïde, de nefroïde, de tractrix, .... .

Isaac Newton
Geboren op 4 januari 1643 in Woolsthorpe, Engeland.
Gestorven op 31 maart 1727 in Londen, Engeland.
Deze grote wetenschapper legde de basis voor de differentiaal- en integraalcalculus, en in zekere zin dus ook voor de differentiaal-meetkunde. Zijn werk Philosophiae naturalis principia mathematica is een meesterwerk en waarschijnlijk één van de belangrijkste wetenschappelijke boeken ooit geschreven.
Newton bestudeerde onder andere vlakke krommen. Zo gaf hij een classificatie van alle kubische vlakke krommen.

Leonhard Euler
Geboren op 15 april 1707 in Basel, Zwitserland.
Gestorven op 18 september 1783 in St-Petersburg, Rusland.
Euler mag terecht als één van de belangrijkste wiskundigen aller tijden worden omschreven. Zijn bijdrage tot de ontwikkeling van de wiskunde en de natuurkunde is te situeren in de meetkunde, analyse, getaltheorie, analytische mechanica, akoestiek, golventheorie, hydraulica, muziek, … Aan hem hebben we ook de notaties voor het getal pi, het getal e, het sommatieteken, het imaginaire getal i, … te danken.
Euler hield zich ook met vlakke krommen bezig. Zo bestudeerde hij onder andere de kettinglijn, de epicycloïdes en de hypocycloïdes

In elk punt van de kromme wordt de kromming gedefinieerd als het omgekeerde van de straal van de osculatiecirkel in dat punt van de kromme. De osculatiecirkel in een punt van de kromme is de cirkel die in dat punt het "best" aansluit aan de kromme. Zoals geweten, bepalen drie niet collineaire punten juist één cirkel. Wanneer we drie punten van de kromme nemen, hiermee de cirkel construeren en vervolgens de drie punten naar elkaar laten naderen, ontstaat in de limiet de osculatiecirkel in het limietpunt. Vandaar dat we ook wel spreken van de "kussende" cirkel.

Klik hier om een programma te downloaden (nieuwe versie 3.0) waarmee je van heel wat krommen de osculatiecirkels kan laten zien en tevens de kromming en de evoluut zichbaar kan maken. Het programma kan de krommen beschouwen als gelegen in een Euclidisch vlak zowel als in een Minkowkivlak.
Het programma is geschreven voor Windows XP (en lager).

Homepage 'Topics uit wiskunde en economie'

	Een vlakke kromme kan gezien worden als het beeld van een functie van één reële veranderlijke t naar het vlak. In elk punt van de kromme kunnen we de raakvector definiëren, ook wel de snelheids-vector genoemd. De veranderlijke t wordt meestal zodanig gekozen dat de lengte van deze snelheidsvector - de snelheid - gelijk is aan één
	René Descartes Geboren op 31 maart 1596 in La Haye, Frankrijk. Gestorven op 11 februari 1650 in Stockholm, Zweden. De filosoof en wiskundige René Descartes gebruikte de algebra om de meetkunde verder uit te werken. Aan hem hebben we bijvoorbeeld de Cartesische assenstelsels te danken. Daarmee bestudeerde hij heel wat krommen in het vlak, waaronder de Cartesiaanse ovalen, de cycloïde, het folium van Descartes, ... .
	Johannes Kepler Geboren op 27 december 1571 in Leonberg, Duitsland. Gestorven op 15 november 1630 in Regensburg, Duitsland. Johannes Kepler ontdekte onder andere dat de planeten in elliptische banen rond de zon draaien waarbij de zon in één van de twee brandpunten staat. Kegelsneden zijn dus voorbeelden van krommen die een belangrijke rol spelen in ons dagelijks leven.
	Christiaan Huygens Geboren op 14 april 1629 in Den Haag, Nederland. Gestorven op 8 juli 1695 in Den Haag, Nederland. Christiaan Huygens maakte en bestudeerde slingerklokken (pendules) en beschreef de baan van de slinger in functie van de tijd. Zo kwam hij bij de studie van de volgende belangrijke vlakke krommen: de kettinglijn, de cissoïde van Diocles, de cycloïde, de epicycloïde, de hypocycloïde, de nefroïde, de tractrix, .... .
	Isaac Newton Geboren op 4 januari 1643 in Woolsthorpe, Engeland. Gestorven op 31 maart 1727 in Londen, Engeland. Deze grote wetenschapper legde de basis voor de differentiaal- en integraalcalculus, en in zekere zin dus ook voor de differentiaal-meetkunde. Zijn werk Philosophiae naturalis principia mathematica is een meesterwerk en waarschijnlijk één van de belangrijkste wetenschappelijke boeken ooit geschreven. Newton bestudeerde onder andere vlakke krommen. Zo gaf hij een classificatie van alle kubische vlakke krommen.
	Leonhard Euler Geboren op 15 april 1707 in Basel, Zwitserland. Gestorven op 18 september 1783 in St-Petersburg, Rusland. Euler mag terecht als één van de belangrijkste wiskundigen aller tijden worden omschreven. Zijn bijdrage tot de ontwikkeling van de wiskunde en de natuurkunde is te situeren in de meetkunde, analyse, getaltheorie, analytische mechanica, akoestiek, golventheorie, hydraulica, muziek, … Aan hem hebben we ook de notaties voor het getal pi, het getal e, het sommatieteken, het imaginaire getal i, … te danken. Euler hield zich ook met vlakke krommen bezig. Zo bestudeerde hij onder andere de kettinglijn, de epicycloïdes en de hypocycloïdes
	In elk punt van de kromme wordt de kromming gedefinieerd als het omgekeerde van de straal van de osculatiecirkel in dat punt van de kromme. De osculatiecirkel in een punt van de kromme is de cirkel die in dat punt het "best" aansluit aan de kromme. Zoals geweten, bepalen drie niet collineaire punten juist één cirkel. Wanneer we drie punten van de kromme nemen, hiermee de cirkel construeren en vervolgens de drie punten naar elkaar laten naderen, ontstaat in de limiet de osculatiecirkel in het limietpunt. Vandaar dat we ook wel spreken van de "kussende" cirkel.
	Klik hier om een programma te downloaden (nieuwe versie 3.0) waarmee je van heel wat krommen de osculatiecirkels kan laten zien en tevens de kromming en de evoluut zichbaar kan maken. Het programma kan de krommen beschouwen als gelegen in een Euclidisch vlak zowel als in een Minkowkivlak. Het programma is geschreven voor Windows XP (en lager).